Application of Generalised Beam Theory to curved members with circular axis

Dedicated to Prof. Dr.-Ing. habil. Joachim Lindner on the occasion of his 80th birthday
This paper reports the latest developments concerning the application of Generalised Beam Theory (GBT) to thin-walled members with deformable cross-section and whose undeformed axis is a circular arc, with no pre-twist. Initially, the fundamental equations and relations are presented, leading to the first-order equilibrium equations and associated boundary conditions, which can be written in terms of GBT modal matrices or stress resultants. Then, the procedure to obtain the cross-section deformation modes is explained. Arbitrary (open, closed or “mixed”) flat-walled cross-sections are covered, even though the kinematic constraints employed to subdivide the modes are much more complex than for prismatic members - in particular, the mode shapes become dependent on the curvature of the beam axis. Using a displacement-based GBT finite element, a set of illustrative examples is presented, involving complex local-distortional-global deformation. These examples show that very accurate results are obtained with the proposed GBT formulation and that the modal solution provides in-depth insight into the structural behaviour of naturally curved members.

Anwendung der Verallgemeinerten Technische Biegetheorie auf kreisförmig gekrümmte Stäbe.
In diesem Beitrag wird über die neuesten Entwicklungen zur Anwendung der Verallgemeinerten Technischen Biegetheorie (VTB) auf dünnwandige Stäbe mit verformbarem Querschnitt berichtet, deren unverformte Stabachse einen Kreisbogen beschreibt und keine Vorverdrehungen aufweist. Zunächst werden die elementaren Gleichungen und Beziehungen vorgestellt, die zu den Gleichgewichtsgleichungen nach Theorie I. Ordnung und den zugehörigen Randbedingungen führen. Diese können in Form von VTB-Modalmatrizen oder Spannungsresultierenden formuliert werden. Im Folgenden wird das Verfahren zur Bestimmung der Modalformen für Querschnittsverformungen erläutert. Beliebige (offene, geschlossene oder “gemischte”) dünnwandige Querschnitte werden erfasst, obgleich die kinematischen Zwangsbedingungen, die zur Unterteilung der Moden verwendet werden, viel komplexer sind als für prismatische Stäbe. Dies gilt insbesondere, wenn die Modalformen von der Krümmung der Stabachse abhängig sind. Unter Verwendung eines auf Verschiebungen basierenden VTB-Finite-Elementes werden eine Reihe veranschaulichender Beispiele vorgestellt, die komplexe Kombinationen von lokalen und globalen Verformungen sowie Querschnittsverformungen beinhalten. Die Beispiele zeigen, dass mit der vorgeschlagenen VTB-Formulierung sehr genaue Ergebnisse erzielt werden und dass die modalen Lösungen einen detaillierten Einblick in das Tragverhalten natürlich gekrümmter Stäbe geben.